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   capitolo i. ì
   se esiste un numero reale l (in particolare 0), per cui, a partire da un termine xu del gruppo, tutte le differenze l  un, l  « 4.!,... sieno minori, in valore assoluto, di un numero positivo e diverso da zero, ma arbitrariamente piccolo, si dice che il gruppo, converge o tende al limite l, ovvero che ha per limite l od anche che ammette un numero-limite l.
   Risulta da questa definizione che, ove il gruppo (1 tenda al limite zero, i suoi termini, a partire da uno di essi ua, saranno in valore assoluto minori di un numero positivo s, diverso da Q, ma piccolo a piacimento. Quindi è evidente che, se (1 tende al limite l, la successione delle differenze l-u¡, l-u2,......tenderà al limite zero.
   27. La definizione precedente (26) non esclude che qualche termine del gruppo sia eguale al limite: perchè, nel caso del limite finito l diverso da zero, se ad es. I  ua +1, può essere sempre soddisfatta la condizione l-ua + i    Inoltre, la stessa definizione generale di limite non implica
   che le differenze l-ua , Z-wn+i,......diminuiscano sempre in
   valore assoluto ed abbiano sempre lo stesso segno nel convergere al limite 0, dovendo soltanto aversi sempre in valore assoluto l-ùa < s a cominciare da un termine un. Quindi i
   termini w , ua+1,......ed anche i precedenti (i quali ultimi
   non hanno influenza sul limite) potranno essere alternativamente maggiori e minori di l (in particolare di 0), o, come suol dirsi, potranno oscillare costantemente intorno ad l; in modo però che l'intervallo fra due termini consecutivi (ampiezza dell'oscillazione) divenga minore di qualunque numero dato, diminuendo o no costantemente. E perciò, quando il gruppo (1 oscilla intorno al limite l, il gruppo delle differenze, alternativamente positive e negative, oscillerà intorno al limite 0, diminuendo o no costantemente in valore assoluto.
   Ma, se per dato la successione (1 è crescente o decrescente sempre (costantemente) verso l, non potrà avvenire mai che un termine sia eguale al limite l (diverso da zero o zero); perchè, se fosse ad es. un+i = l, nella successione delle differenze, che deve allora convergere allo zero, i termini se-