GRUPPO DI NUMERI REALI. ]7
Un gruppo («) dicesi crescente o decrescente, secondo che ciascun termine è maggiore o minore del precedente (2) : questi due icasi si possono comprendere nella limitazione continua,
crescente o decrescente (3)____ut ^ u3 ^____^ u«^. ,
ove si corrispondono fra loro i segni superiori e così gli inferiori.
Vedremo nei numeri 38-43 alcuni importanti gruppi formati con leggi speciali (progressioni, gruppi proporzionali ecc.)
Esempi. Io. Dato il grappo arrestato a sinistra-j, , .....
O 4: O O
si vede che i termini sono formati con la legge seguente: il numeratore ed il denominatore di ciascun termine superano, rispettivamente di 1 e di 2 unità, il numero indicante il posto del termine; in conseguenza di che, il denominatore di ciascuno supera di un'unità tanto il denominatore del termine precedente, quanto il proprio numeratore. Perciò il ter-n -4- 1
mine nmo sarà . . Evidentemente, il dato gruppo cresce sempre (2, 4). n H- í
2°. E evidente la legge di formazione del gruppo
111 11 1
1> 'o ' 'o '
2 3 4 n n + 1 n + 2
122334455 ^ ,.
~2 ' 7' TT T T T 4' e'..... E chiara la legge dl
formazione: i termini di posto dispari, considerati a parte, costituiscono il grappo dell'esempio 2°; ogni termine di posto pari è l'inverso del termine (di posto dispari) che lo precede. Quindi, un termine qualunque
r v -f- 1
(dispari) sarà - ed il seguente (pari) . I termini di posto dispari, minori dell'unità, formano a parte un gruppo crescente, come si è visto; mentre quelli di posto pari, maggiori dell'unità, costituiscono da se un gruppo decrescente.
5. Dati o determinati, con un processo qualunque, due gruppi di numeri (interi o frazionari), l'uno C crescente e l'altro D decrescente, in generale non arrestati nò a dritta, nè a sinistra
----cl < c, < cs <----< c <----ì q
...,dt>d,>ds>.... >d >.... / 1 '
se ogni c è minore di ogni d e se, inoltre, è possibile trovare qualche c e qualche d, la cui differenza sia minore di un numero piccolo quanto si vuole e non nullo (caratteristiche dei
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