GRUPPO DI NUMERI REALI. ]9
   maggiori di m (processo di formazione degli elementi). Essi gruppi costituiscono un sistema di due classi definito Come nel n. 6 : infatti, poiché
   ci,2 < m < di', per h e h qualunque,
   sarà Ch < di (3, Es.) ; inoltre, dato un numero 8 piccolo a piacere, considerando il gruppo dei numeri s, 2e, 3s, 4s, ...., ove sia e < 8, uno fra questi numeri, ad es. ns, sarà l'ultimo di tale successione che farà parte della classe C, ed allora il seguente (n+ l)e apparterrà alla classe D, per cui esistono due numeri nelle due classi la cui differenza (n + l)s  ne = e è minore di 8.
   2°. Assunto ancora il quadrato non perfetto m, consideriamo invece i due gruppi (c2) e (d~) costituiti, l'uno dai quadrati minori di m e l'altro dai quadrati maggiori di m. Si ha o,2 < di'- : prima caratteristica del sistema di due classi. Inoltre, rfk2  Ch2 = (di + Ch) (di  Ch), da cui rfk2  Ch2 < 2(it (di  Ch) : ora, poiché le c e d costituiscono un sistema di due classi (es. 1°), esisterà una e, delle c ed una da delle d, tali che
   ds  cr < Trr » ove £ è un numero piccolo a piacere ; ma per i qua-
   idi - 1
   drati di cc e d in virtù della relazione trovata prima, si ha
   ¿s2  cr2 < 2di (ds  cr) ': dunque a fortiori-d¡2  cr2 < £, cioè il gruppo, che esaminiamo, possiedo ancora la seconda caratteristica del sistema di due classi.
   3°. C = 1  l-I-, l_i......
   4« c=    1
   -----rj, g, g,
   0 = 1+4,1 + 4,1+4,.....
   50.0=5-4,5
   D=5+4' 5 + 4,.....
   7. Risulta dal numero precedente che, dato un sistema di due classi non arrestate in alcun senso, l'insieme dei numeri interi- e fratti si può immaginare scomposto in due classi : infatti, si possono sempre aggiungere a ciascuna delle due classi date nuovi numeri (mediante le leggi note di formazione di queste), e così avvicinare sempre più i numeri di una classe a quelli dell'altra; ed, oltre a ciò, si possono supporre collocati, fra numeri delle date classi, tutti i numeri interi e fratti,