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   CAPITOLO I. ì
   che vi sono compresi. Nell'esempio 1° del n. precedente, tutti i numeri interi e frazionari sono appunto scomposti in due classi. Ogni sistema di due classi scompone, adunque, in un certo modo l'insieme dei numeri interi e fratti.
   E tale divisione in due classi C e D della totalità dei numeri interi e fratti può sempre aversi, assumendo ad arbitrio un numero n (intero o fratto) e collocando nella prima classe C, in ordine crescente, tutti i numeri minori di n e nell'altra D, in ordine decrescente, tutti i maggiori di n, come nell'esempio 1° (6): è evidente, infatti, che il sistema così formato ha le caratteristiche di quello definito nel n. 5; perchè ogni numero della classe C è minore di ogni numero della classe D,
   e di più, dato un numero e piccolo a piacere, il numero m  g-e,
   ad es., della classe C ed il numero m + e della classe D 2
   hanno una differenza g s minore di e.
   Adunque, ogni numero, intero o fratto, individua una scomposizione di tutti numeri interi e fratti in un sistema di due classi, che sono in fatto separate da quel numero.
   Ma, date due classi C e D come nel n. 5, non si può dire, inversamente, che esista sempre un numero n, intero o fratto, che sia non minore di ogni c e non maggiore di ogni d, cioè tale che separi le due classi, come avveniva nel caso precedente e nell'esempio 2° (6), nei quali n era noto a priori, e come avveniva negli esempi 3°, 4' e 5° del n. 6, nei quali evidentemente n è 1 o 5. Così, nell'esempio 1° n. 6, nessun numero separa le due classi ; perchè, non essendo m un quadrato perfetto, ogni numero, intero o frazionario, avrà il suo quadrato maggiore o minore di m e quindi apparterrà all'una od all'altra delle due classi.
   Se però esiste un numero x (intero o frazionario), che separi le due classi (1, non può esisterne un secondo y\ perchè, se ciò fosse possibile, dovendo aversi la differenza dh  ck fra una qualunque delle d ed una qualunque delle c sempre numericamente maggiore della differenza x  y, non potrebbe sussistere la seconda caratteristica delle due classi. E si vede così che, date due classi (1, un numero qualunque m è una c od è minore di qualche c; ovvero è una d od è maggiore di qualche d: altrimenti non è minore di alcuna c, nè maggiore di alcuna d, ed è il numero che separa le due classi (il quale