gruppo di numeri reali.
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   però in casi particolari, come negli esempi 8°, 4' e 5° (6), può far parte di qualcuna delle due classi, essendo il maggiore della prima od il minore della seconda).
   8. Quando, date due classi (1, non esiste alcun numero intero o frazionario, che le separi, si ammette (postulato di Dedekind) che esista uno, ed un solo, numero, maggiore di ogni c e minore di ogni d, che separa le due classi ; e ad esso si dà il nome di numero irrazionale, in opposizione al quale ogni numero, intero o fratto, dicesi razionale. E, viceversa, dire che esiste un numero irrazionale equivale a dire che esiste un sistema di due classi, le quali non ammettono alcun numero, intero o frazionario, che le separi e sono tali che quel numero irrazionale si ritiene maggiore di tutti gli elementi dell'una e minore di tutti gii elementi dell'altra.
   Adunque, in generale: due classi C e D (1 definiscono un numero, razionale od irrazionale x (confine o numero di separazione delle due classi), che si rappresenta appunto scrivendo :
   x = (C, D).
   Quando con un sistema (C,D) si decompone la totalità dei numeri razionali in due classi (7), evidentemente il sistema rimane lo stesso e quindi, per il postulato di Dedekind, il confine delle due classi non si muta.
   Se si fanno corrispondere (6) gli elementi delle classi dell'esempio 1° a quelli dell'esempio 2°, per modo che ad ogni numero corrisponda il suo quadrato, si vede che nell'esempio 2° due elementi e,2 e da2, la cui differenza sia minore di un numero s piccolo a piacimento, sono separati dal numero m intero o frazionario; mentre ogni numero posto fra' corrispondenti cr e d, dell'esempio 1° corrisponde ad un elemento delle classi (e2) e (¿2), e quindi non esiste fra cr e d, un numero, intero o frazionario, che corrisponda ad m : cioè, fra cr e d» vi sarebbe una laeuna, senza l'introduzione del numero irrazionale x = (C, D) confine delle due classi dell'esempio 1°.
   Se il numero m, di cui è parola nell'esempio 1°, fosse un quadrato perfetto q1, il confine x = (C, D) delle due classi sarebbe il numero razionale q, radice quadrata di j2 : quando m non è un quadrato perfetto, la radice quadrata di m è il numero irrazionale x  (C, D), come si di-, mostra premessa la definizione di prodòtto di due numeri irrazionali. Ma deve notarsi che non tutti i numeri irrazionali sono radici quadrate di quadrati non perfetti (165).