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   capitolo i. ì
   9. Riferendo le due classi di numeri (1 a grandezze, di cui essi sieno misure e per le quali possa ammettersi la divisibilità senza limite ('), un numero irrazionale x  (C, D) si può ritenere misura (rapporto all'unità) di una grandezza'I incommensurabile con l'unità, alla quale grandezza si avvicinano sempre più e, crescendo, le grandezze (commensurabili con l'unità) misurate dai numeri della prima classe e, decrescendo, le grandezze (commensurabili con l'unità) misurate dai numeri della seconda classe: per cui, x è maggiore delle misure delle grandezze della prima classe e minore delle misure delle grandezze della seconda. Ed in vero, si hanno due classi di grandezze corrispondenti a due classi di numeri razionali, quando sieno date due grandezze omogenee A e B, tali che A
   non contenga nè l volte B, nè m volte  B (essendo l, m, n
   fì/
   ... , , . . m +1  .
   interi qualunque), ma sia  B< A<  B, e, per tro-
   vare la misura di A rispetto a B (rapporto g-), si proceda
   col noto metodo degli equisummidtipli; cioè, si divida  B inn'
   il/
   parti eguali, minori del resto R, che si aveva portando  B
   in A; e poi si porti -^B in R, nel quale sia contenuto h
   . mn' + h _ . _ mn' + h + 1 
   volte, per cui-; B    r nn nn
   nuando quanto si vuole. I numeri razionali, misure delle due
   classi di grandezze così formate, evidentemente individuano
   ,. , , . ~ m mn' + h  ni + 1
   un sistema di due classi L =  , --; ...... D =--,
   n nn n
   (!) È noto che, nel caso più generale, affinchè più grandezze sieno misurabili, è necessario che: a) ne sia definita l'uguaglianza e la disuguaglianza, ed inoltre di- due di esse disuguali si possa dire quale è la maggiore e quale la minore; b) si sappiano sommare (donde, il concetto di omogeneità) o si sappia sottrarre la minore dalla maggiore; c) possa trovarsi un multiplo, di una qualunque di esse A, tale da superare un'altra B, ed una parte aliquota di A, tale che sia minore di un'altra C. Esempi: segmenti, tempi, pesi, temperature etc. ; le aree, gli archi curvilinei ecc. divengono misurabili, solo dopo che sono state stabilite adatte definizioni e dimostrate alcune loro proprietà.  Vedi: Hannia e D'Ovidio, Elementi di Geometria, pag. 112 e 275 ; E. De Paolis, Elementi di Geometria, pag. 36, 274, 374, 433; Bettazzi, Teoria delle Grandezze (Pisa, Spoerri); G. Veronese e P. Gazzaniga, Elementi di Geometria, libri VI e IX; F. Giudice, Geometria Piana, libro III; G. Testi, Geometria Elementare, capitolo VIII; ecc.