gruppo di numeri reali.
   ]13
   mn 4 h + 1 . .. .....
    -;_______ e quindi un numero irrazionale, che e
   appunto la misura cercata. Ed è chiaro che, assumendo per
   A. tyi
   il rapporto -g- ad es. il valore  , si commette un errore minore di  (rapporto approssimato o misura, approssimata a
   TI
   meno di  , per difetto); mentre dai numeri della classe D si
   hanno rapporti approssimati per eccesso.
   Così si vede che ai numeri irrazionali corrisponde qualche cosa di reale, rappresentando essi grandezze (esistenti e note in molti ,casi), cui è possibile avvicinarsi quanto si vuole per due successioni di grandezze; ed appare chiara la necessità di introdurre nell'Aritmetica i numeri irrazionali, i quali colmano le lacune che sono nella serie dei numeri interi e frazionari, come si è visto nel numero precedente.
   In particolare, se si assumono su di una retta r (') un punto 0 ed un'unità di misura OU, e si portano, a destra ed a sinistra di 0, i segmenti OC,, OC,,...., 0D,, OD,,.....OC',.... misurati dai numeri interi o frazionari ct1 c,,;...,rf, ,dt,....,<;',,...., convenendo di portare gli stessi segmenti a dritta per i numeri positivi ed a sinistra per i numeri negativi, si ottengono
   quanti si vogliano punti C,,C,.....,D,,D,,_____ C',,_____ che
   rappresentano numeri interi e frazionari, mentre lo 0 è rappresentato evidentemente da 0 [origine). Ma non si segnano così tutti i punti della retta, perchè mancano quelli che sono estremi de'segmenti incommensurabili con l'unità, qual'è, ad es., la diagonale del quadrato di lato 1 : questi ultimi punti non sarebbero rappresentati da alcun li imero, se non fossero introdotti nell'Aritmetica i numeri irrazionali; e perciò, rappresentando sulla r solo i numeri razionali, avremmo fra' punti della r delle lacune, corrispondenti alle lacune nella totalità dei numeri interi e frazionari, prima dell' introduzione dei numeri irrazionali.
   Due gruppi di segmenti, misurati rispettivamente dai numeri razionali c e d di un sistema di due classi (1 che non
   (1) Lo studioso farà agevolmente la figura da sè.
   in fi2 zìi-
   (2) Se il rapporto della diagonale d al lato l fosse  , si avrebbe   -^j; e poiché = , -^- = 2: assurdo.