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   capitolo i. ì
   abbia un confine razionale, determinano sulla retta r due distinti gruppi di punti Ct, C,,...., Di, D2,...: mentre i numeri della prima classe, crescendo, e quelli della seconda, decrescendo, si avvicinano sempre, per il postulato di Dedekind, ad un numero irrazionale x = (C, D) confine delle due classi, le due successioni di punti, l'una verso destra e l'altra verso sinistra, si avvicinano ad un punto X, che, in questa rappresentazione geometrica dei numeri sulla retta r, corrisponde precisamente al confine delle due classi. Ciò chiarisce anche la legittimità del postulato di Dedekind.
   Invece di parlare di segmenti, portati a dritta ed a sinistra di 0 con la convenzione fatta pei segni, si potrebbe parlare di distanze da un'origine 0: positive a dritta e negative a sinistra. Assunta ad arbitrio un'unità di misura, ad ogni numero razionale od irrazionale, intero o frazionario, corrisponderà adunque sulla r un punto M, a dritta od a sinistra dell'origine secondo che il numero è positivo o negativo, e tale che la distanza OM sia misurata da quel numero; e viceversa, ad ogni punto della r corrisponderà il numero che ne misura la distanza dall'origine, preso positivamente o negativamente secondo che quel punto è a dritta od a sinistra di 0. Fatta questa rappresentazione geometrica, i numeri si dicono indici dei punti corrispondenti.
   Per la possibilità di stabilire sempre una corrispondenza di siffatta specie fra numeri e punti di una retta r, invece di parlare di numeri, potremo parlare di punti, dei quali i numeri sono indici : e cioè faremo spesso, per maggior chiarezza.
   IO. Due scomposizioni della totalità dei numeri razionali in due classi saranno -identiche, quando tutti i numeri che entrano nella prima classe dell'una scomposizione entrano pure nella prima classe dell'altra scomposizione, e viceversa; e cosi per le due seconde classi.
   Due scomposizioni dei numeri razionali in due classi saranno non identiche (inidentiche), quando un numero della prima classe di una scomposizione non entri nella prima classe dell'altra ed un numero della-seconda classe dell'una non entri nella seconda classe dell'altra.
   È chiaro (es. 4°, 5° n. 6) che, se solo un numero di una classe d'una scomposizione della totalità dei numeri razionali non appartenesse alla classe corrispondente di un'altra scomposizione, le due scomposizioni potrebbero tuttavia essere