gruppo di numeri reali.
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   ancora identiche, quando quel numero fosse il massimo od il minimo della classe cui appartiene, secondochè questa è la prima o la seconda.
   Evidentemente, due numeri differenti m ed «.determinano (7) due scomposizioni inidentiche della totalità dei numeri razionali.
   Quando due sistemi di due classi sono eguali o disuguali, sono eguali o disuguali (coincidenti o no) anche i loro confini (razionali od irrazionali); giacche un sistema non ha che un sol confine (8). Quindi due sistemi eguali definiscono uno stesso numero (razionale od irrazionale); e due sistemi disuguali definiscono due numeri disuguali.
   II. Dati due sistemi (C, D), (C', D'), se ogni numero di una delle due classi del primo, ad es. C, si trova nella corrispondente C' del secondo sistema, i due sistemi sono eguali.  Infatti, immaginando con ciascuno dei due sistemi decomposta la totalità dei numeri razionali in due classi (7), per cui i due sistemi rimangono gli stessi (8), per l'ipotesi fatta tutti i numeri razionali della classe C saranno ancora in C' ; e viceversa. In conseguenza di ciò, tutti i numeri razionali della classe D', che sono i soli [x = (C', D') al più compreso] numeri razionali maggiori di tutti quelli della classe C', essi ed essi soli [x = (C,D) al più compreso] saranno i numeri razionali maggiori di tutti quelli della classe C ; ma tutti i numeri razionali maggiori di quelli della classe C sono per ipotesi i numeri della classe D e solo essi (x al più compreso): dunque, le due classi D e D' sono costituite dagli stessi numeri razionali, e per ciò i due sistemi dati sono eguali (10).
   Prima della decomposizione di tutti i numeri razionali mediante i due sistemi, nell'ipotesi fatta su questi ogni numero di D poteva essere Uguale o maggiore di qualche numero di D' e viceversa, come rilevasi dalla dimostrazione ora data: ed è evidente che la condizione contenuta nel teorema precedente poteva tradursi nell'altra che ogni numero della classe C fosse minore di qualche numero della classe C' e viceversa. Segue da ciò che, per l'eguaglianza dei due sistemi, non è necessario che ogni numero della prima classe dell'un sistema ne abbia uno eguale nella prima classe dell'altro : basterebbe (l) che ogni numero dell'una prima classe fosse minore di qualche numero dell'altra prima classe e viceversa (es. 3° e 4°, n. 6) ; ovvero che ogni numero di una seconda classe fosse maggiore di qualche numero dell'altra seconda classe e viceversa (2) ;
   (') e (21 Gabbieri, n. 169, pag. 257, voi. I.