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   capitolo i. ì
   od anche che ogni numero della prima classe dell'un sistema fosse minore di qualche numero della prima classe del -secondo, ed ogni numero della seconda classe del primo maggiore di qualche numero della seconda classe dell'altro f1); od infine che ogni numero della classe C sia minore di qualche numero della classe D' ed ogni numero dolla classe C' minore di qualche numero della classe D (2).
   Per ciò che si disse prima (10), nelle condizioni precedenti per l'eguaglianza di due sistemi di due classi si hanno anche quelle per l'eguaglianza dei loro confini (razionali od irrazionali).
   12. Dati due sistemi (C, D), (C', D'), se un numero c della classe C appartiene alla classe D', ovvero un numero c' di C' appartiene alla classe D, i due sistemi sono disuguali. - Infatti, supponendo decomposta con ciascuno dei due sistemi, la totalità dei numeri razionali in due classi, è chiaro (10) che, nel primo caso, c non può appartenere a C' e, nel secondo, c' non può appartenere a C.
   Evidentemente, perchè si verifichi il primo caso, basta che un numero della classe C sia maggiore di qualche numero della classe D' (3), " ovvero che un numero della classe C sia maggiore di tutti quelli della classe C' (4) : analogamente, per il secondo caso.
   In queste condizioni, si hanno (10) quelle per la disuguaglianza di due numeri (razionali od irrazionali) x = (C, D), x' = (C', D'): nel primo caso è x>x', nel secondo x < x'.
   13. Si dimostra che, per i numeri così definiti come confini di sistemi di due classi, sussistono tutti i teoremi relativi alle somme, differenze, prodotti, quozienti, frazioni e potenze (con esponente intero o frazionario), che l'Aritmetica Generale stabilisce per i numeri razionali: poiché si dimostra che, se (C, D), (C', D') sono due sistemi di due classi, anche (C + C, D + D'), (GC'f DD'),(Cm, Dm), ove m sia intero, sono sistemi di due classi e perciò individuano altrettanti numeri, razionali od irrazionali ; (C, D) + (  C,  D) = 0; etc. Quindi, per il calcolo con numeri irrazionali, si hanno le stesse regole che per il calcolo con numeri razionali, e per l'egua-
   li FaifofeB, n. 129, pag. 87.
   (2) Amanzio, Aritmetica teorica, n. 363, pag. 317.
   (3) Faifofeb, n. 132 ed Amahzio, n. 362.
   (" <) Garbieki, n. 170, voi. I.