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   capitolo i. ì
   Cdc,Ddi,ds, Ed in fatti, evidentemente (3) ogni numero della classe D è maggiore di ogni numero della classe C; ed inoltre, dividendo la differenza, fra uno qualunque d dei d ed uno qualunque c dei c, in un numero arbitrario di parti eguali, per modo che una h di queste sia minore di un numero s piccolo a piacere, si ha una successione di numeri c, c + h,c + 2h,...., c + rh,c + (r + 1) h,...., d : due di questi, ad esempio c + rh e c + (r + 1 )h, avranno potenze w"!8 comprendenti a, per cui c + rh apparterrà alla classe C e e + (r + 1 )h alla classe D, mentre sarà la differenza c + (r + l)h  (c + rh) = h < s. Siccome, adunque, il sistema di due classi (C, D) individua (8) un numero x (irrazionale), così il sistema (Cn, Dn) individua il numero xn, dietro quanto si dimostra, definite le operazioni sui numeri irrazionali (13) ; ma, per l'ipotesi, il sistema (Cn, Dn) individua a, che non è alcuno dei numeri delle due classi O e Dn: dunque, a =
   n_
   xn, cioè x = ia.
   Supponiamo che esista un altro numero (positivo) (C, D'), tale che (C'n, D'n) = a = (O, Dd) : essendo allora i numeri c'Q tutti inferiori ed i numeri d'n tutti superiori ad a, dovrebbero i c' trovarsi fra' e ed i d! fra' d, poiché il sistema (C, D) scompone la totalità dei numeri razionali positivi in numeri, che hanno le potenze wme minori di a, ed in numeri, che hanno le potenze nme maggiori di a. Dunque (11), i due numeri (C, D) e (C, D') sono eguali.
   Dimostrata l'esistenza della radice aritmetica nma di un dato numero a, si dimostra anche subito, che non possono esisterne due x ed Xi ('), considerando che, se ciò fosse, dovrebbe aversi a  xn = x¡', e quindi (2) x'  ¡ri' = 0 ; ma, per la differenza x'  xi' si può scrivere (3, es.) il prodotto (x  xi) (xu~l + xn~2 X\ +____+ xi'-1 ) : dovendo essere questo eguale a zero, per note proprietà dei prodotti si avrà x  Xi = 0, e quindi (2) x = xi , poiché il secondo fattore è evidentemente positivo!
   Discende da questo teorema che, secondochè a = b, per le
   n_ n_
   radici aritmetiche nme si avrà i a = yò.
   (1) Ciò è manifesto, secondo qualche trattatista (Faifofbe, pag. 101) j forse, per la considerazione che, se x - essendo x ed x, positivi, è pure (3 es.) ¡e"! ^»j'>,comu dimostreremo in generale (59, h)).