20 capitolo r.
sempre una radice algebrica negativa d'indice dispari : vedesi
poi subito che y a (n dispari) non ha alcun valore positivo e non può avere un secondo valore negativo. Ma, se n è pari, evidentemente x' <( x)a, ossia ( x)n> a (qualunque
sia pure x): quindi, in questo caso, y a non ha alcun valore (fra' numeri razionali ed irrazionali).
n
Perchè ]/a sia un radicale aritmetico secondo la definizione del n.,14.
n
dev'essere a > 0 ; allora ia ha sempre un valore (assoluto, aritmetico :
n
radice aritmetica) ed uno solo. Se poi ya si considera come radicale algebrico secondo la definizione di quésto comma, a può essere positivo
n
o negativo, ed allora ]/a ha : un solo valore positivo (radice aritmetica), se a è positivo ed n dispari (comma a) ) ; due valori, uno ¡positivo e l'altro negativo (la radice aritmetica e la sua opposta), se a > 0 ed n pari (comma a)); un sol valore negativo (il numero contrario della radice aritmetica del contrario di a), se a < 0 ed n dispari ; nessun valore (razionale od irrazionale),, se a-<0 ed » pari.
c) Si potrebbe considerare, per maggior generalità, come radicale aritmetico anche quello d'indice n (intero); giacché, esistendo sempre la radice aritmetica nm% x di (a > 0),
la quale da x' = , ossia a = donde x~a = a, esiste sem-
CI X
11 -
pre un valore positivo di y« = f a (a > 0). Anche quando si definisse, a questo modo, come radice aritmetica nmi (n intero e 0) di a (> 0) quel numero positivo x, tale che = a,
sussisterebbero sempre le osservazioni fatte nei commi a) e b) che precedono.
16. Pei radicali aritmetici si dimostrano(') nei Corsi iniziali d'Aritmetica Generale le seguenti proprietà, che porgono il mezzo di calcolarli:
(!) La proprietà a), per es., si suole dimostrare così: se x è il valore di Va», si ha
per la definizione (14) x' = om, donde (xn)P=(am)ii, ossia «'p=amp (3) : dunque, x = V»1'1' "
n_ np__np. n
Kssendo ya'n = V»''P, si ha anche V»mP = V<1,rai 'a quale eguaglianza dimostra il teorema reciproco.
Pagina
