22 capitolo i. ì
   Il_
   17. II valore (assolato) di un radicale ]/am (n ed m interi, a > 0) non dipende dai valori (assoluti) di n ed m, ma dal valore (assoluto) di  . Infatti, se  = indicando con ~ v ' m ' m m ' ml
   la frazione irriducibile eguale a ciascuna di queste, sarà n=hn
   n_
   m = hnl, n' ~ knl, m' = km1 (h e k interi), donde \'am 
   hn,_ n,__n'_ kn,_ n,__n_ n'_
   = y«1"!! = yami (16, «)), Va"!' = yakm> = Vam» ; cioè, Vam = \'am' :
   >1_ n'_ n VI
   e viceversa, se V«m*= Vam', è  =  , come vedesi subito ' ' m m '
   per l'eguaglianza delle potenze {nnt)mo dei due radicali.
   n__"!
   Perciò, essendo }'um  an se m~hn (16, a)), è conveniente, nel caso di m non divisibile per n, definire mediante l'eguali E__JH
   glianza au = Va"! (radicale aritmetico) il simbolo an, che, per m non multiplo di n, non ha ancora significato. E si può anche ritenere che questa convenzione valga, quali si sieno
   -- 1
   segni di n ed m, sicché a 11 =  : ed in vero, sarà o
   per coll-
   ii __n_
   -n_ l/ '_ 1 /
   a « = yam = }f am (15, c) ) o a ' = V«_m = r am ;
   -- 1 1
   seguenza, si ha sempre, per il teorema 16 e), a n  - "
   . ni
   Adunque, essendo a positivo e « ed m interi, a ' individua un numero ed uno solo (14) e chiamasi potenza con esponente frazionario ovvero, più brevemente (come per le potenze intere), potenza frazionaria.
   Il simbolo ax, essendo a > 0, è così definito per ogni valore razionale di x (intero o frazionario, positivo o negativo) ; definiremo poi a* (a>0) anche per x irrazionale (156).
   Nel corso iniziale d'Aritmetica Generale si dimostra che, per le potenze frazionarie, sussistono le note proprietà delle potenze con esponente intero (positivo o negativo):
   m m, in m,
   s) = 'i.