Nuova Enciclopedia Italiana - Volume di Gerolamo Boccardo
feÈTfatflCAfclÒNE DÈI CÒfcftNÌ
influitesi mule che si uvià sempre nelle coordinate rettangolari la relazioneds = ]/ d**+dt/* = dx]/\ +
Infatti i tre elementi dx, dy, formano un triangolo mistillneo rettangolo, che al limite si confonde con un triangolo rettilineo, essendo ds l'ipotenusa.
dy2
Ponendo nell'ultimo membro in vece di ilsuo valore ricavato dall'equazione data della curva, ed integrando si trova
dx*'
Sia, per esempio, da rettificar la parabola la cui equazione è
yzzpofl;
sarà
dy* _dx*
— 4p*x* ;
quindi si avrà ds = dx )/1 + 4p*x* ; ed S~f dX^ + 4p2 z*
1+4 p*&
dx
+ 4/)**» + ^\of^2px+^ 1 + 4p*x*
-f C08t.
Quindi si vede che la parabola ordinaria è nna curva rettificabile. Pel circolo si ha l'equazionequindi
y = Vr*- x» tfy ___dx~
Vr*—x*
dy*__dx* r* — x?
quindi
rdxVr*—£*'
J Ir*-a?
dx* dy*
ds=V djfi+dtf* +d*>=d*y 1+ +
Per conseguenza la rettificazione del circolo dipende dallo integraleil quale non si può ottenere che per approssimazione.
Se la curva fosse a doppia curvatura, la formola ner la rettificazione sarebbee si avrebbe
»W>+2
+
dx* de*9
ove si devono mettere e ^ i valori che si rica-
da? dy . de devano in funzione di e dalle due equazioni della
c urva.
Per le curve riferite a coordinate polari, chiamando s l'arco, r il raggio vettore , e
ds = Vdr*+r*d? = + ^d'onde s = f d9
Applicando questa formola alla spirale d'Archimede, per es., per la quale si haUt»
r = atp,
si trovas—fdT( Vatf + a*
= + + + costante.
RETTIFICAZIONE DEI CONFINI^eom.prat.elopog.). — Chiamasi rettificaeione dei confini quella quistione di geometria applicata mediaute la quale ad un confine tortuoso, fra due attigue proprietà fondiarie, gì viene a sostituire un coufiue rettilineo senza produrre alterazione nei valori delle pezze adjacenti, o senza produrre alterazione nelle aree di tali pezze allorquando ammettono il medesimo valore per ogni unità superficiale. Le quistioni relative alla rettificazione dei confini sono di qualche importanza nell'esercizio della carriera degli ingegneri o dei misuratori pratici, e si crede conveniente di esporre il metodo che generalmente si può seguire nella loro risoluzione.
I. Problemi preliminari. — 1° In un angolo dato XBY chiudere un'area data mediante una retta partente da un punto determinato A preso su un lato dell'angolo (fig. 5660 e 5661).
Prima solueione. — Misurisi a distanza BA (fig. 5660) che chiameremo e e si indichi con Ax a b
Fig 5660.
Fig. 5661.
l'area data da chiudersi nell'angolo XBY. Evidentemente l'area da chiudersi nell'angolo proposto é un triangolo di cui si conosce la superficie e la base, il quale avrà per conseguenza l'altezza, cne indicheremo con x, espressa da_ A _2A X~~ 1 ~~ C ' "2
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