Nuova Enciclopedia Italiana - Volume di Gerolamo Boccardo
RETTIFICAZIONE DEI CONFINI
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Inalzando ora in un punto qnalanque D di AB una perpendicolare alla AB medesima, determinando la lunghezza DE = x e conducendo per E una parallela a BX, si otterrà il punto C sul lato BY che, unito al punto A, dà la completa soluzione del semplicissimo problema proposto.
Seconda soluzione. — Detta ancora A la superficie da chiudersi nell'angolo XBY (fig. 5661), si conduca pel punto A una retta qualunque AD e si trovi l'area del triangolo BAD, la qual area indicheremo con S, non che la distanza BD = d. Immaginando il problema risoluto, si comprende agevolmente come la vera retta da condursi per A si possa determinare calcolandola lunghezza BC=y. Ora i due triangoli BAD e BAC, avendo il vertice comune in A ed avendo le loro basi sulla stessa retta BY, ammettono la stessa altezza, e per conseguenza le loro aree staranno come le loro basi, cosicché si avrà la proporzioned'onde
S : A : : d: y,
y=ìd-
Questa lunghezza portata da B in C somministra il vero punto C, che unito con A, permette di chiudere nell'angolo XBY il triangolo ABC avente l'area data.
2° In una linea poligonale ABCD (fig. 5662) di tre lati condurre una retta parallela al lato diFig. 5662.
Fig. 5663.
mezzo BC in modo da ottenere un trapezio di area data A.
Risoluzione per approssimazioni successive. — Si consideri la figura da determinarsi non un trapezio, come è realmente, ma sibbene come un parallelogramma : allora, misurata la retta BC = a, risulterà agevole il trovare l'altezza x dell'ideato parallelogramma, che sarà data daA a
Inalzando in un punto qualunque G di BC una perpendicolare GX, portando su essa la lunghezza GH = a? e conducendo pel puuto H la retta EF parallela a BC, si troverà la superficie EBCF, cbe per una prima approssimazione si avvicina alla superficie A. — Misurando la retta EF = bt risulta agevole il trovare la superficie A' del trapezio UCFE, che viene data daed il verificare se questa superficie è eguale, maggiore o minore di A. Nel caso di A'=A il problema
trovasi già compiutamente risoluto, nel caso di A' A converrà togliere lungo EF nna lista di superficie equivalente ad A'—A.
Posto che si verifichi il caso di A'>A, si indichi con A la differenza A'—A, e la lista trapezia da levarsi avente questa superficie si consideri come un parallelogramma di base EF = b e di superficie A. Allora l'altezza x' di tale parallelogramma sarà espressa dail qual valore di xf, portato da H in H', permette di condurre la retta E'F' determinante la superficie E'BCF', che già molto si accosta all'area data A.
Fatto questo, se pure la retta E'F' non si crede abbastanza approssimata alla vera posizione, si misuri E'F'=6', si faccia la superficie del trapezio EE'F'F = A' e si osservi se è maggiore o minore di A. Posto A'>A, si faccia la differenza A'— A = A"f si calcoli una nuova altezza x" data daa"
_ _X b' 1
si avrà cosi la nuova altezza H'H", e conducendo E"F", si avrà la nuova superficie BCF'E", che ben poco si scosterà dalla superficie data A.
Il procedimento esposto si dovrà continuare in pratica fino a trovare una differenza fra A e la superficie separata che sia piccola e di un valore trascurabile.
Risoluzione del problema col metodo detto esatto. — Si incominci dal condurre una retta GH (fig. 5663) parallela a BC in modo da far risultare un trapezio BCHG, di cui si misureranno BC = a, HG — b e l'altezza BM = A. La superficie del trapezio BCFE, indicando con x l'altezza BL, è espressa daa+ef
2 X1
e siccome questa superficie deve essere eguale ad A, si avrà l'equazionea+'EF
x—k
(1).
Conducendo la retta BK parallela a CD, e osservando cheEF= a+ EI, l'equazione (1) diventa
.....(2).
Avendo ora ricorso ai triangoli simili BGK e BEI e osservando che GK = 6 — a, si deduce la proporzioneh:b—a:\x:~ET,
d'onde_(b-a)x h '
il qual valore di EI sostituito nella (2) dà 2 ah+(b-a)x . -2h-*=a'
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Posto A
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