Nuova Enciclopedia Italiana - Volume di Gerolamo Boccardo
RICORRENTE
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ha chiamato la sensibilità delle radici rachidiane anteriori, che sembra provenire dalla periferia del corpo. — In amministrazione, ricorrente è sinonimo di postulante. — In mineralogia, ricorrente si dice aoa varietà di cristallo nella quale, prendendo le facce per file annulari, da una estremità all'altra, si hanno due numeri che si succedono parecchie volte, come 4,8—4,8 ecc. — In patologia febbri ricorrenti sono le fèbbri periodiche. — In algebra è molto importante la serie ricorrente, di cui faremo speciale trattazione.
I. Definizione. — Chiamasi serie ricorrente una successione di termini tali cbe uno qualunque di essi vale la somma algebrica di un determinato numero de' termini che lo precedono, moltiplicati rispettivamente per quantità fisse. Così prendiamo, per esempio, i due primi termini arbitrarii 1 e 3, e moltiplichiamo il primo per — 1 ed il secondo per +2 e sommiamo i prodotti, faremo il numero 5, che sarà il terzo termine della serie. Moltiplichiamo ora il secondo, 3, per —1, ed il terzo, 5, per 4-2 ed otterremo 7 per somma dei prodotti. Il 7 sarà il quarto termine della serie ricorrente. Allo stesso modo dal terzo e dal quarto termine moltiplicati rispettivamente per — 1 e per +2 si forma il quinto termine 9, e così di seguito. Si otterrà in tale maniera la serie ricorrente
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ecc., la quale è così formata, che un termine qualunque vale il doppio del precedente, meno il termine che precede quest'ultimo. Prendiamo ancora arbitrariamente per i tre primi termini 2, 3* e —2x9, e assumiamo che ciascun termine si formi dalla somma algebrica de'tre che lo precedono moltiplicati rispettivamente per —#3, — 3x. Partendo dai tre primi termini e operando come nell'esempio precedente, otterremo la serie 2+3a? 2^+10*3-37^+133*5-493*6+ ecc. L'insieme delle quantità, per cui si moltiplicano alcuni termini per formare il termine che li segue, dicesi scala di relazione. Così nel primo esempio arrecato la scala di relazione è —1, +2; nel secondo è —x3, —3*.
Le serie ricorrenti sono di primo, secondo, terzo ordine, ecc., secondo che per formare un termine qualunque bisogna ricorrere ad uno, due, tre, ecc. termini precedenti. Le due serie ricorrenti superiori sono rispettivamente del secondo e del terzo ordine. La serie ricorrente di primo ordine è una progressione per quoziente ; infatti in essa ogni termine vale il precedente moltiplicato per una quantità fissa, che è la ragione della progressione.
II. Generazione delle serie ricorrenti. — Le serie ricorrenti nascono dallo sviluppo in serie delle frazioni della formafl/pm-l -f bxm-~ + cxm~s +.....-\-h
a'xm + b'xm~1 + e'x™-* +.....+h'x+i' '
Prendiamo, per esempio, la frazione aJx + V ;
sviluppandola in serie, sia colla divisione del numeratore pel denominatore, sia colla formola del binomio, scrivendola sotto l'aspettosia ancora col metodo de'coefficienti indeterminati, otteniamo
a a aa' aa'* aa'3
la quale è una serie ricorrente di primo ordine, poiché ciascun termine si ottiene moltiplicando ilprecedente per — — a?.
Siaancora la frazione
ax-\-ba'x*+b'x+c"
che svilupperemo col metodo de'coefficienti indeterminati, ponendoax-\-b k „
V^ry^Td =+Bx+Cx2+D*3+E*4+Fx5+ecc-
Moltiplicando ambi i membri per a'xt+b'x+c', ed ordinando otteniamoax+b = kc' + Ab' +Bc'
+ Ce'
+ Cb' -f De'
x*+Ca'\x*+ ecc. + Dò' + E ADovendo questa eguaglianza sussistere qualunque sia il valore di x} di necessità i coefficienti delle stesse potenze di x ne' due membri sono eguali ; onde per la determinazione dei coefficienti A, B, C, D, ecc. si hanno le equazioni
A J = by Aft' + Be' = a, Aa'-fB&'-f- Cc' = 0, Ba'+Cò' + Dc'=0, ecc., dalle quali si ricava
. »
B =
ac'-bb' e'*
C = — - ' A — ^ B , c' c '
D ,-^B-^-C, ecc. c cQuindi si vede che cominciando dal terzo coefficiente C, ciascun coefficiente si ottiene moltiplicando i due che lo precedono per — % e — - ri-
fi c'
spettivamente. In conseguenza lo sviluppo dellafrazione data sarà una serie ricorrente di secondo
ordine, colla scala di relazione formata dalle duea• b'
quantità — —:r9, ~~>x-
Operando allo stesso modo sulla frazioneax1 + bx+c
a'x* -f b'xz + c'x+d7 '
si arriva ad una serie ricorrente di terzo ordine colla scala di relazione
~d'X*> ~d'X*> dX' In generale la frazioneaxm-] + fozm-9 + arm-3-j-.....+ h
a'x"> + b'x"'-1 + c'xm+.....+ h'x + 7
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Definizione Aft
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