Nuova Enciclopedia Italiana - Volume di Gerolamo Boccardo
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RICORRENTEconduce ad uua serie ricorrente deli oidiue m, colla scala di relazione
o' V , d 0 A'
— -r,Xm} —T,Xm-l) ——........
% %' t c'
Può darsi il caso che il numeratore della frazione proposta sia di grado superiore a quello del denominatore. Allora si potrebbe ricorrere alla divisione del numeratore pel denominatore spingendola fino a ricavare un quoziente intiero con un resto di grado minore del denominatore stesso, e si trasformerebbe la frazione data in una parte intiera, più un'altra frazione somigliante alle precedenti, la quale si svilupperebbe poi in serie ricorrente.
III. Trovare la frazione generatrice di una serie ricorrente. — Supporremo che la serie ricorrente sia data in un colla sua scala di relazione, e che i suoi termini siano ordinati secondo le potenze ascendenti di un'indeterminata x, la quale per le serie numeriche dovrà supporsi eguale all'unità. Sia dunque la serieA-f ecc.
e la scala di relazionemx3, nx9, px. Essendo questa di tre termini, la frazione generatrice è della forma
ax*+bx+cafx*+b'x* + c'x+d' '
Ma se questa frazione fosse data, la scala di relazione della corrispondente sarebbe
«' , b'-o c'
Ora dividendo per d! ambi i termini della frazione supposta, essa divienea a b c
ove i tre termini in x del denominatore equivalgono a quelli della scala di relazione coi segni cambiati. Per conseguenza la frazione generatrice cercata può mettersi sotto la forma ogg + frE+Y —wx3—nx* -px+ 1 ' nella quale non vi sono più che le tre indeterminate a, p, y- Per trovarne i valori avremo la relazione
--«x'+tx+l--=A+B*-fCV + D*3+ ecc.
—mx3 — nx* —px + 1
Moltiplicando pel denominatore del primo membro, ed eguagliando fra loro i coefficienti delle stesse potenze di x ne' due membri che ne risulteranno, si troveranno i valori di a, p, y in funzione di A, B, C.
Lo stesso metodo si può applicare alle serie di qualunque ordine. Applicando, per es., alla serie
1 — 2x — x* — bx* -f- 4x* - ecc. la cui scala di relazione è •
-fa;3, +4x2, -2x, si troverebbe per frazione generatrice 9x2 — 1 x3 + 4x9 — 2x — l '
Avremmo potuto raggiungere io stesso risultato col seguente metodo, che in fondo non è altro che quello etesso che abbiamo applicato alla somma-zione de'termini di una progressione per quoziente. SianoA, B, C, D, E, F, ecc. i termini della serie ricorrente, e m, », p,
la scala di relazione. Supponiamo così la serie di terzo ordine, ma il metodo è ugualmente applicabile a tutti gli ordini. Si avrà pertantoD^r Am + Bn + Cp, E = Bm + C» 4- Dp, F = Cm + Dw + E^>, G = Dw + En + Fj), ecc.,
le quali eguaglianze, sommate membro a membro, danno (essendo S la somma di tutti i termini della serie, o la frazione generatrice cercata)
S —A — B —C = #iS + n(S — A)+j)(S — A — B), d'onde si ricava
wA +p( A + B) — (A + B + C) m + n+p — 1
Questo metodo ba il vantaggio di condurre all'e-spresssione della somma di un numero limitato qualunque di termini della serie ricorrente. Sia ancora la serie precedente di termini A. B, C, D, ecc., colla scala di relazione m, n,p. e siano L, M, N, P i quattro ultimi termini cbe si vogliono comprendere nella somma. Avremo le relazioniD = Am+Bw + Cj), E = Bm-f Cn+Dp, F=Cw + Dn=Ep,
P —Lm+Mn + Np.
Chiamando ancora qui S la somma cercata, e sommando le precedeuti eguaglianze, si trova
8—A—B—C-m(S - M—N—P)+n(S—A N - P) +i>(S-À-B.-P),
la quale equazione risoluta rispetto ad S, dà il valore della somma cercata.
IV. Trovare il termine generale di una serie ricorrente. — Siaaxn-ì+bx™-2+.....+ h
a'xm + b'xm -1 +.....+ h'x + i'
la frazione generatrice della serie; scrivendola sotto la forma
(axm -i+bxm-*+.....-f h)(a'xm +b'xm-i +.....+i)-»,
sviluppando l'indicata potenza —1, e raccogliendo insieme tutti i termini moliplicati per xn, si otterrebbe il termine generale, ossia il termine cbe ha n termini avanti di sé. Ma questo metodo, quando il denominatore della frazione generatrice sia un polinomio di molti termini, è di lunga applicazione. I matematici preferiscono per lo' più, quando egli ò applicabile, il seguente metodo, in cui tutta la difficoltà è ridotta nella decomposizione di una frazione in altre frazioni più semplici. Eguagliato a zero il denominatore della frazione generatrice, si
/-
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Xm-l Bm-f Cn Essendo
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