Nuova Enciclopedia Italiana - Volume di Gerolamo Boccardo
311 RICORRENTE
ricavano le radici a, p, f..... dell'equazione risultante, con cbe il denominatore si decompone nel prodotto de'fattoria'ix—a)(x- §)(a;-y).
P«
+
P„
-1
+
P«-8
(s-a)» {x — a)»-» (a:-a)»-9
,+.....+
X — aSi determineranno i coefficienti indeterminati Pl? P9, P3, ecc. come i precedenti, e la decomposizione della frazione generatrice sarà ottenuta. Sviluppando allora colla formola del binomio ad esponente negativo le singole frazioni risultanti, la cui somma eguaglia la frazione data e sommando i termini in xn di tutti gli sviluppi, si otterrà il termine generale cercato. Come si vede, la ricerca del termine generale con questo metodo si fa dipendere dalla risoluzione delle equazioni.
Se i fattori del denominatore della frazione generatrice fossero immaginarli, operando come sopra, ogui volta che la frazione stessa non contenga parti immaginarie, gli immaginarti nella serie delle operazioni si elideranno fra loro necessariamente.
V. Riconoscere se una serie data sia ricorrente. — Sia la serie, cbe chiameremo S,
S = A + Ba;-f Cx2+Da;3+ ecc.
Affinchè ella sia una serie ricorrente di primo ordine, deve equivalere ad una frazione della forma
, Eseguendo la divisione indicata nel secondo mem-! bro, si otterrà il quozienteSe questi fattori sono tutti differenti gli uni dagli altri, si eguaglia la frazione data ad una somma di frazioni semplici, aventi ciascuna per denominatore uno de'fattori predetti, per numeratore una costante indeterminata, e che si determina tosto col metodo de'cofficienti indeterminati, facendo cioè scomparire i denominatori dall'eguaglianza che ne è risultata, ed eguagliando fra loro i coefficienti delle stesse potenze di x ne'due membri. Se alcun fattore è ripetuto più volte, cosicché sia per es. il denominatore della frazione generatrice eguale al prodotto
(*-«)• (x—fi)(x-y)......
allora a ciascun fattore semplice si farà corrispondere una frazione semplice come si è detto; ed al fattore multiplo (x —<*)» si faranno corrispondere » frazioni come le seguentia'x + ò' '
o dovremo quindi avere
1 a'x + b'
S ~ ab' a' :-+ -x. a a
Per conseguenza se la divisione dell'unità per la serie data conduce ad uu quoziente esatto della forma m+nx, la serie data è ricorrente di primo ordine ; in caso contrario la serie non è ricorrente, o è ricorrente di ordine superiore al primo. In questo caso poniamoax+b
o ne avremo
a'xi + b'x + c* '
a'&+b'x+ d ax+bcol resto
Quindi sarà
c' bb'-ac?
a'b*-abb+a*c' b¦
x9.
1 c' bb' — ac' a'te—abb' + aPc' rr = T+ —r—* + —ta, . T--,
S b ' b espressione della forma m+nx-tax+b
b*{ux+b)
xKMa se dividiamo l'unità per S si ottiene il quoziente m+nx, con un resto della forma SjS3, essendo Sj una serie; quindi sarà
DunqueSi _ P S ax+b9
1 Si
- = m + nx+ g-x*.
S _ax+b
+-x=m,+n'x> P Pvale a dire, se S è una serie ricorrente di secondo ordine, spinta la divisione dell'unità per S fino al secondo termine del quoziente, si avrà un resto SyX* tale, che il quoziente esatto della divisione di S per Si sarà della forma m+nx.
Dietro queste considerazioni Lagrangia propose la seguente regola per riconoscere se una data serie S sia ricorrente.
1° Si divida l'unità per S, e si spinga la divisione ai due prini termini m+nx del quoziente; si avrà in generale un resto della formaA1x«+B1a;3+C1a:'»+ ecc. =S^.
2° Si divida $ per St ; si troverà il quoziente m'+n'x, col resto S^8.
3° Si divida S2 per S3; si troverà il quoziente m"+n"x, col resto S3x*.
Si continui a questo modo, finché si arrivi ad una divisione che dia il quoziente esatto della forma m+nx . Giunti a questo punto possiamo assicurare che la serie è ricorrente, e l'ordine suo è dato dal numero delle divisioni fatte.
Coi risultati di queste divisioni possiamo anche j determinare la frazione generatrice della serie data, e quindi la scala di relazione, e il termine generale, e la somma di un numero qualsivoglia di termini. Basta, per dimostrare ciò, far vedere come si determini la frazione generatrice.
Dalle divisioni fatte si ricava (supponendo che la serie sia di terzo ordine)
1 Si „
rrW + WX-j--^,
J = rn'+ «'*+!*«,
q
— =m + » x.
02
L'ultima di queste eguaglianze somministra Sj __ 1 Si ~~ m" + n"x 1
/-
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Riconoscere Lagrangia
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