Nuova Enciclopedia Italiana - Volume di Gerolamo Boccardo
RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI
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zioni. A questo fine si posseggono varii metodi: i più elementari sono quelli detti per sostituzione y per paragone e per addizione o sottrazione. Elegante assai e comodo è pure il metodo che dipende dalla teoria de' determinanti.
Eliminazione per sostituzione. — Si risolva una delle due equazioni date per rispetto ad una delle incognite, riguardando l'altra come nota: il valore così ricavato si porti invece dell'incognita stessa nell'altra equazione, e si otterrà una equazione ad una sola incognita. Così dalla prima delle equazioni.
ax + by—c, mx + ny —p,
si ricavail quale valore portato nella seconda, somministra l'equazione
c — by . m + ny=p,
che, risoluta, dà
pa—mcV —-•
na—mbSostituito ora questo valore di y in una delle equazioni date, otterremo l'equazione cbe fk conoscere x.
Se fossero m equazioni ad m incognite, si ricaverebbe pur sempre da una di esse il valore dell'incognita da eliminare, trattando le altre incognite come quantità note, e si porterebbe invece dell'incognita stessa in tutte le altre equazioni, il che conduce ad un sistema di m — 1 equazioni di primo grado ad w-1 incognite, le quali trattate allo stesso modo conducono ad m — 2 equazioni ad m—2 incognite, e cosi continuando si arriverà infine ad una equazione con una sola incognita, di cui si potrà determinare il valore numerico, od almeno in funzione di quantità note.
Trattando in seguito successivamente le equaziopi ottenute a due, a tre, ecc. incognite, sarà facile trovare il valore di ciascheduna di esse.
Eliminazione per paragone. — Date due equazioni a due incognite, si ricavi da ambedue il valore di quella incognita che si vuole eliminare, riguardando l'altra come quantità nota. Si avranno così due espressioni di una medesima quantità, le quali dovranno essere eguali tra di loro. Eguagliandole , ne risulta l'equazione cercata ad una sola incognita. Così le due equazioniax + by=c, a'x + b'y = c', dànno rispettivamente
i quali valori eguagliati conducono all'equazionec — by_c' —b'y
a ~~ a' '
che risoluta dà
_ a'c—ad y~ a'b-ab''
Se si avessero m equaziomi, si ricaverebbe da ciascuna di esse il valore dell'incognita da eliminare, e si otterrebbero cosi m espressioni che debbono essere eguali fra di loro. Eguagliandole due adue fra di loro, cioè eguagliando la prima alla seconda, la prima alla terza,.....la prima all'mMfma,
si ottengono m — l equazioni con m - l incognite. Da queste si passa allo stesso modo ad m - 2 equazioni con m — 2 incognite, e così di seguito, come Bopra si è detto.
Eliminazione per addizione e sottrazione. — Siano due equazioni a due incognite ; egli è chiaro cbe se una delle due incognite avesse lo stesso coefficiente nelle due equazioni, e di più anche lo stesso segno, sottraendo le due equazioni l'una dall'altra membro a membro, il termine contenente quell'incognita comparirebbe, e si otterrebbe un'equazione ad una sola incognita. Ove poi quell'incognita avesse nelle due equazioni lo stesso coefficiente, ma con segno contrario, essa scomparirebbe sommando le due equazioni membro a membro. Tutta la difficoltà consiste adunque nel ridurre quell'incognita ad avere lo stesso coefficiente nelle due equazioni. Ora questo si ottiene in tutti i casi moltiplicando i la prima equazione pel coefficiente che ba quel-l'incognita nella seconda, e moltiplicando la seconda pel coefficiente che ha l'incognita stessa nella prima.
Cosi se le equazioni date sonoax + by = cf a'x + b'y — c't per eliminare y moltiplichisi la prima per b' e la seconda per e si sottragga questa da quella, si otterrà
ab'x — a'bx — b'c - be',
ossiax(ab' a'b) = b'c — be',
d'onde_ b'c - bc x~ ab'-a'b'
Allorquando i coefficienti doli'incognita da eliminare hanno nelle due equazioni un f&ttore comune, per ridurli all'eguaglianza basta moltiplicare rispettivamente le due equazioni pe'fattori non comuni.
Se avessimo m equazioni ad m incognite, ne dedurremmo un gruppo di m — 1 equazioni con m — 1 incognite, eliminando successivamente, come nell'esempio precedente, una medesima incognita tra la prima e la seconda, la prima e la terza,.... la prima e r*»",m« delle equazioui date.
Eliminazione coi determinanti. - Chiamano funzione alternata di più quantità quella che cambia di segno, ma conserva lo stesso valore assoluto, allorché si scambiano due di queste quantità tra di loro. La più semplice funzione alternata di due quantità a, b> è a — b, o b — a; e la più semplicefunzione alternata di m quantità a, b, c, d,.....g, h
è il prodotto
(b—a)(c—a)(d - a)...(h—a)x(c b)(d-b)...(h-b)x... x(h-g).
Se si sviluppa questo prodotto in forma di polinomio, nessun esponente delle quantità a, 6, c..... hpotrà essere maggiore di tn — 1, poiché m — 1 è evidentemente il numero de' fattori contenenti una medesima quantità. Di più in ciascun termine del prodotto sviluppato gli esponenti delle differenti lettere saranno differenti. Per conseguenza ciascun termine, fatta astrazione dal segno e dal coefficiente numerico, sarà equivalente al prodotto delle diverse
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Mfma Bopra
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