Nuova Enciclopedia Italiana - Volume di Gerolamo Boccardo
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RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONIquantità a, b, c... h disposte in un ordine qualunque, e rispettivamente elevate alle potenze indicate dai
numeri 0, 1,2, 3.....m - 1. Siccome questo prodottocambia solo di segno collo scambio di due lettere qualunque fra di loro, cosi se al posto di una lettera se ne scrive un' altra qualunque , cioè se si scrive by per esempio, al posto di a, senza scrivere a al posto di b, il prodotto diventa zero.
Ciò premesso, se scambiamo tutti gli esponenti del prodotto precedente in indici scritti al piede di ciascuna lettera, cioè se al termine qualunque, per esempio,
..... hm~1
sostituiamo il termine
.....hm—i,
formeremo un nuovo polinomio che chiameremo D, contenente le m9 quantità
<*o» à0, c0, d0,.....h0
«i, ci> .....
dm- 1 , bm-ì , Cm-), dm-l,.....hm—],
III. Equazioni di secondo, terzo e quarto grado ad una incognita. — Il modo di risoluzione delle equazioni di secondo e di quarto grado è spiegato nell'articolo Quadratiche e quadrato-quadratiche equazioni, di maniera che non ci resta qui che trattare delle equazioni di terzo grado, per le quali faremo conoscere la formola di risoluzione detta di Cardano.
Qualunque equazione di terzo grado può sempre ridursi alla formaa?3-f axi + foc + c-.O, essendo a, b, c quantità che si suppongono note. Inoltre sostituendo in questa equazione ad x una nuova incognita y diminuita di un terzo di a, ossia ponendo
a
*=»-¦5-
otteniamo un'altra equazione della formay*+py + q=z 0, nella quale p e q sono quautità note dipendenti dai coefficienti a, 6, c, e la quale è più semplice della precedente, essendo priva del secondo termine , cioè del termine in y* (V. Equazione . Se sapremo risolvere l'ultima equazione, e determinare i valori di y, sapremo pure trovare quelli di x, giacché abbiamo x=y — Basta adunque che impariamo a
risolvere l'equazione del terzo grado priva del secondo termine. Sia pertanto l'equazionex3 px + q = 0.....(1).
L'artifizio usato dai primi matematici che risolsero questa equazione cousiste nel paragonarla ad uu'at-tra di cui si conosca una radice. Sia perciò x — a + b,
ossiax* =a*+bs+3ab(a+b), ossia ancora, ponendo x invece di a+6, e trasportando,
x3 — 3abx — (a3+63) - 0, equazione la quale, pel modo stesso con cui si formò, ammette evidentemente la radice x = a + b.
Ora l'equazione (1) sarebbe identica colla «presente, se avessimop= — 'òab, e q=— (a3 + 63); e se potessimo determinare due valori numerici per a e b tali che fossero verificate queste due eguaglianze, è chiaro che avremmo una radice della proposta eguale alla somma de' valori di a e di b.
Per risolvere tali eguaglianze rispetto ad a e b, osserviamo che, trasportando i termini ed elevando la prima al cubo, le medesime possouo scriversi cosi:
a3+b3 = — q e o363 = —
£1
Siccome p e q sono numeri noti, cosi sarà nota la somma delle due quantità a3, b3, come noto è pure il loro prodotto. Ricordando la proprietà delle radici dell'equazione di secondo grado, sarà facile scorgere che i valori numerici di a3 e è3 sono le radici di un'equazione di secondo grado, il cui secondo termine abbia per coefficiente q, ossia la somma aP+b8 col segno contrario, ed il cui terzo I termine sia il valore del prodotto
e che è ciò che si chiama il determinante di queste quantità medesime. Esso gode, per ciò che si è detto, della proprietà di mutar segno collo scambio di due lettere tra di loro, e di diventare zero scrivendo al posto di una lettera un'altra del polinomio stesso.
Se designiamo con A0a<)la somma dei termini del determinante, i quali hanno a0 fattore comune, econ Ajaj, A^......Am-i «m-i le somme dei termini
che hanuo rispettivamente fattore comune a1} aa,.....
a».-1, avremoD = Aq^o + + A2os +.....+ Am-i am-1 ;
e scrivendo successivamente b, c, d,.....h al postodi a nel secondo membro di questa eguaglianza , si ottiene
0 - AoÒo + A^i + As&s -f.....-f Am—1
O = A0C0 + AxCj -f A2C3 +.....+ Am-l Cm-l,
0 = A0h0 -I- AjAj + A2As +.....-f- Am—1 fcm-l.
Ciò premesso, siano le m equazioni ad m incognite x, y, zy.....u, v, di primo gradoo9x + 60y + c0*+----¦+¦ g0u + h9v = k0,
fli x+b1y + cli+ .... +£,u-f hlv=kl,
Um—lX-*-bm-\y + Cm—... + 1 U + hm-l f = Am—1 ,
i cui coefficienti sono le m9 quantità precedenti.
Moltiplichiamo la prima di queste equazioni per A0,
la seconda per Alt la terza per A2,..... l'ultima perAm—i, e sommiamole. Si vedrà nella somma scomparire, in virtù delle relazioni precedenti, i coef fidenti di y, z,.....w, v, e ne risulterà l'equazioue
Dx-- Aofco + +.....+ Am—1 km-1,
d'ondeAo&o + + A2fc9+ ..... + Am—1 km-1
*=---------.
In egual modo si troverebbero i valori delle altre incognite, i quali hanno tutti il denominatore comune D, ed i numeratori si formano dal denominatore comune con legge che facilmente chiunque può scoprire da sè.
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Quadratiche Cardano Ajaj Am-i AxCj Am-l Cm-l Alt Equazione Am-i
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