Nuova Enciclopedia Italiana - Volume di Gerolamo Boccardo
RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI
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Chiamando* l'incognita di tale equazione,avremo adunque per determinare a3 e fc3
*3 + 3* ~ 27 = °>
d'onde
2 r 4 27
Una di queste radici sarà il valore di a3, l'altra di 63, ed è indifferente prendere per a o per b l'una o l'altra delle due radici. Pertanto avremo
2 r 4 T 27'
Estraendo la radice cubica, si ottengono i valori di a e ni ò, i quali sommati dàuuo il valore cercato di x, che risolve la equazione proposta (1), cosicché sarà
l/_i+l'^TE3+,/_2.- [/ZI?
X~y 2 + > 4 + 27 + K 2 f 4 +27
Questa è la così detta formola di Cardano.
Ciascun radicale quadrato sotto al radicale cubico non ammette che uu solo valore, poiché i due valori dipendenti dal seguo radicale furono già sopra separati. Non è così dei radicali cubici, ciascuno de' quali è qui scritto in tutta la sua generalità, ed ha tre valori distinti (V. Radicale). Combinando ciascuno de' tre valori del primo radicale cubico con ciascuno dei tre del secoudo, otterremo per x nove valori differenti ; onde potremmo conchiudere che l'equazione di terzo grado ammette nove radici, il che è contrario a quanto abbiamo dimostrato nell'articolo Equazione. Ma osserviamo cbe le equazioni cbe dovevano dare i valori di a e di bf eranop — — 3ab, e q = — (a3+63). Noi abbiamo elevato la prima al cubo, con che il suo grado si è triplicato, e fu triplicato il numero delle radici cercate. Per escludere le radici così intruse, basta notare che i valori di o e di b debbono essere tali da soddisfare all'equazione p= — 3ab,
ossia il loro ab deve valere — Per abbreviareo
chiameremo m uno de' tre valori del radicale cubico trovato per a; n uno dei valori per b; 1-, a, p le tre radici cubiche dell'unità (V. Radicale), cosicché avremo
«»-l/ 9 + I/^Tp3 „-q ' «V5*
m-t -a + yj + fj-"-* -2-fT + 27
- 1 + ?'^ìt „ -1 - l'-l «= -2---2-•
1 tre valori di a sarannom, tm fi m.
quelli di b
», a », p».
Fra questi valori di a e di b dovremo scegliere quelli soltanto, i quali moltiplicati fra di loro dàuuoper prodotto — Provando si vede che le coppie ó
m, n; «m, p»; pm, an, sono le sole che soddisfacciano a questa condizione; quindi chiamando x\ x'\ x'" le tre radici dell'equazione proposta di terzo grado, avremox' = ro + », x' ~ otm+p», x'" — pm+
La natura di queste radici dipende dall'essereni p3
la quantità -j- + che sta sotto al radicale qua-
drato maggiore di zero, eguale a zero, o minore di zero. Se é maggiore di zero, si dimostra che l'equazione ha due radici immaginarie ed una reale, e le formolo trovate servono a trovare tali radici. Se é eguale a zero, l'equazione ha tre radici reali, di cui due sono eguali fra di loro, e la terza eguale al doppio di ciascuna di esse, ma di segno contrario. Se é minore di zero, le radici sono tutte e tre reali, ma si presentano sotto forma immaginaria. In questo caso, che dicono irredutiibile, la formola di Cardano non Serve pel calcolo numerico delle radici. I matematici ricorrono allora per quest'effetto o alle formolo trigonon.etriche od ai principii relativi alla risoluzione numerica delle equazioni di tutti i gradi.
IV. Principii generali per la risoluzione delle equazioni numeriche di qualunque grado. — Se nell'equazione, che supporremo ridotta alla formaxm +aìxm-ì + a9xm-*-t- .... +a«» =0, rappresentando con aIt a*, . . . . numeri noti, sostituiamo al posto di x un numero p, si troverà pel valore del primo membro un risultato numerico, il quale sarà positivo o negativo. Ciò posto, il principio fondamentale per la risoluzione di cui trattiamo é il seguente: se due numeri p e q di seguo qualunque, sostituiti al posto di x nell'equazione numerica, che chiameremo f (x) = 0,
dànno due risultati di segno contrario, tra quei due numeri é compresa almeno una radice reale dell'equazione proposta. Infatti essendo f(x) una funzione continua, facendo variare per gradi infinitesimi il valore numerico che si sostituisce e facendo crescere o decrescere in modo coutinuo il valore di x, varia pure in modo continuo il valore della funzione, senza che questa mai possa diven-I tare infinita per nessun valore fiuito di x, giacché essa rappresenta un polinomio intiero in x. Ora facendo variare x in modo continuo dap fino a qy il valore della funzione variando in modo continuo, ; deve passare dal positivo al negativo, o viceversa, il che non può fare senza passare per lo zero-Esiste adunque tra p e q un valore che posto in vece di x rende zero il primo membro dell'equazione, e questo valore é una radice reale. Dunque ecc.
Po88 amo ora dimostrare quest'altro principio più generale, che se due numeri p e q sostituiti ad x nel primo membro dell'equazione dànno risultati di segno contrario, essi abbracciano uua o più radici reali dell'equazione, ma sempre in numero im-
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Cardano Equazione Cardano Serve Radicale Radicale
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