Nuova Enciclopedia Italiana - Volume di Gerolamo Boccardo
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RISOLUZIONE - RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONIpari; e se dànno risaltati dello stesso segno, essi o non abbracciano radice reale, o ne abbracciano un numero pari. Invero chiamiamo «, p, . . . . le radici reali disposte in ordine di grandezza, cosicché sia « < p < y . . . . l'equazione si potrà scrivere sotto questo aspetto (V. Equazione)
(*-«) (x_Y)----xcp(*)z=0,
chiamando v(x) il prodotto di tutti i fattori di primo grado dipendenti dalle radici immaginarie. Il fattore ? (x) non può dare risultati di segno contrario qualunque valore numerico si sostituisca ad x, poiché se si potessero ottenere due risultati di segno contrario, tra i due numeri che li somministrano vi sarebbe una radice reale dell'equazione tp (x) = 0, il che è contro l'ipotesi, non ammettendo questa equazione che radici immaginarie. Ciò posto, sostituendo successivamente i due numeri p e }, otteniamo i risultati
(P-Ct) (i>-p) (P-y) . . . . 9(p), (« -W fa-Y) • • • • ?(«);• e se p e q non abbracciano che una radice per esempio, tutti i fattori corrispondenti nei due risultati avranno lo stesso segno, ad eccezione della coppia de' fattori p — p, q — p, i quali sono necessariamente di segno contrario. Se p e q abbracciano due radici reali e non di più, due sole coppie di fattori corrispondenti ne' due risultati saranno di segno contrario; se abbracciano tre radici, avremo tre coppie di fattori di segno contrario, e così di seguito. Ma se un numero impari di coppie di fattori corrispondenti sono di segno contrario, evidentemente i risultati sono di segno contrario ; e sono dello stesso segno se le coppie di fattori oorrispondenti di segno contrario sono in numero pari; dunque sta il principio enunciato.
V. Limiti delle radici reali e conseguenze. — In mancanza di metodi diretti per la risoluzione delle equazioni, importa almeno di saper determinare fra quali valori numerici siano comprese le radici reali. Questi valori numerici, detti limiti delle radici, si sanno in ogni caso trovare, vale a dire, data un'equazione, si possono sempre assegnare due numeri positivi, tra' quali sono comprese le radici reali negative. Ecco in qual modo. Sia l'equazionex* +a1£",-1 + a2a;m-9+ .... +am = 0, e proponiamoci di trovare un numero che renda il primo termine xm maggiore della somma di tutti gli altri teftnini, in modo che sia
arm> a1«m-1 + fl9a?TO-9+ .... +«m. Supponiamo il caso più sfavorevole, quello cioè in cui tutti i termini del secondo membro di questa ineguaglianza sono positivi, e supponiamo tutti i coefficienti aì} . . . . am eguali al massimo di essi, che chiameremo a* , o meglio, per comodità della stampa, semplicemente k. È chiaro che l'ineguaglianza sarà soddisfatta, quando sia soddisfatta la seguentexm> k(xm~l&W-3+ .... +Z+1), che equivale ad
Fatto x = k si trova il primo membro minore delsecondo ; ma fatto x = k 1, il primo membro riesce maggiore del secondo, e l'ineguaglianza è soddisfatta. Dunque se nell'equazione data si sostituisce ad x il massimo coefficiente k accresciuto dell'unità, il primo termine diventa maggiore della somma di tutti gli altri. Ogni numero poi maggiore di &-f-l renderà a fortiori il primo termine maggiore della somma degli altri, il che facilmente si vede col porre la penultima ineguaglianza, che precede, sotto la forma
x™>kxm /-- + —a + . . . . + —V yx x* xm/
Di qui si deduce che il massimo coefficiente dell'equazione accresciuto dell'unità è maggiore di qualunque radice reale dell'equazione, ed è perciò uno de'limiti delle radici. Infatti k+\ e qualunque numero maggiore rendendo xm maggiore della somma degli altri termini, non può rendere zero il primo membro, nè perciò essere radice dell'equazione. Inoltre notando che i termini positivi che seguono il primo si aggiungono con questo per rendere il primo membro maggiore di zero, facilmente si scorge che il limite, dicono superiore delle radici reali è dato dal massimo coefficiente negativo dell'equazione, preso positivamente, ed accresciuto della unità.
Se i termini che seguono immediatamente il primo sono positivi, possiamo assegnare alle radici nn limite superiore assai più ristretto, ossia più prossimo alla massima radice. Invero sia «"a?"-» il primo termine negativo dell'equazione, e sia ancora k il massimo coefficiente negativo, preso positivamente. Ragionando come sopra, facilmente si scorgerà essere limite superiore delle radici qualunque numero che soddisfa all'ineguaglianzaxm>k (xm-n+x1*-«-ì + ....-fi),
ossiaim-n+l __ 1
xm>k---.
x — 1
È facile dimostrare che, fatton
x=VJc +1, questa ineguaglianza è soddisfatta. Dunque il nu-
nmero 1 + fc è il limite cercato.
Newton trova il limite superiore delle radici reali di una equazione con un metodo un po' più lungo, ma che importa conoscere, perchè si può con tal metodo trovare il minimo numero intiero maggiore di tutte le radici reali dell'equazione. Sia l'equazione
/(*)= 0,
e si sostituisca x' + u ad x; otterremo (V. Equazione)
/¦(*')+/»+ Lf'\x')u*+.... +wm=0.
Ora se,'tasteggiando, troveremo un numero che sostituito ad x' renda positive tutte le funzionif(x')% f'(x\ /"(*'), ecc., avremo in quel numero stesso il limite superiore cercato. Infatti essendo allora tntti i coefficienti dell'equazione trasformata in u positivi, nessun nu-
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Limiti Equazione Equazione
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